viernes, 27 de agosto de 2010

Pensamientos aleatorios



* Aleatorio no siginifica equiprobable: que un experimento tenga varios resultados posibles no quiere decir que todos ocurran con la misma probabilidad. En general, seguramente pensando en el lanzamiento de un dado o una moneda, tendemos a pensar que las posibles alternativas (mutuamente excluyentes) son igualmente probables. Esto claramente no es cierto: arrojar una moneda cargada sigue siendo un experimento aleatorio. Otro: aunque es cierto que, o bien ocurre que mañana cae un meteorito y destruye la Tierra, o bien no ocurre, afortunadamente la segunda alternativa es bastante más probable. La idea de asignar igual probabilidad a todas las alternativas, de todas formas, tiene un fundamento, que Bernoulli y Laplace llamaron Principio de Razón Insuficiente: mientras no haya razón para favorecer una entre varias alternativas, se supone que todas son equiprobables. JM Keynes lo rebautizó como Principio de Indiferencia y lo analizó (y criticó) en su Tratado de Probabilidad.

* ¿Es realmente aleatorio el experimento de lanzar una moneda? Dada la enorme cantidad de variables (difícilmente medibles) que intervienen en el proceso que determina de qué lado cae, podemos considerar que sí: es prácticamente imposible predecir el resultado. Sin embargo en este estudio los autores muestran cómo bajo ciertas condiciones la moneda cae exactamente del lado en el que estaba al ser lanzada. El lanzamiento de una moneda es un fenómeno puramente físico y de aleatorio no tiene nada. Lo deja a uno pensando si es que existe algo que sea verdaderamente aleatorio...

* El infinite monkey theorem, según el cual un mono golpeando teclas al azar en una computadora durante infinito tiempo termina replicando las obras completas de Shakespeare, es contraintuitivo pero puede ser demostrado matemáticamente. Sin embargo para que esto sea cierto hay que aceptar una "licencia poética": "mono" es en realidad una metáfora para "dispositivo que selecciona teclas de manera independiente y con igual probabilidad". Resulta que si uno se lo toma literalmente y pone un mono a escribir con una computadora, más que con King Lear termina con un equipo semidestruido todo meado y cagado, y con cinco páginas de la letra S.


5 comentarios:

Q dijo...

Pensamientos al azar de un matemático aficionado: no hay que confundir probable (probable) con probable (likely). La probabilidad no trata de eventos que sean aleatorios en su naturaleza, sino que es una manera de cuantificar la información y su calidad (a partir de información parcial (vg, el valor que una función medible (variable aleatoria) toma, inferir qué evento o eventos profundos ocurrieron).

No hay nada aleatorio y mucho menos equiprobable; aparte es fácil mostrar que si un espacio es equiprobable, entonces no puede ser más que numerable. O sea, los casos que importan en la realidad no pueden ser equiprobables.
Y bueno, por último, lo que hay que tomar literalmente del lema de Borel-Cantelli (eso del mono) es la parte donde dice independencia, la figura del mono aparece cuando gente sin habilidades narrativas, poéticas o sociales (vg, los matemáticos) intentan hacer chistes :)

Enrique Gabriel dijo...

Muy buen Post. Coincido con Q en que la probabilidad es una manera de cuantificar la información (salvo quizás en cuantica, por ahora).
Respecto de lo del mono, pasa lo contrario que con la interpretación intuitiva que tenemos con la palabra aleatorio. El quid de la cuestión es que las pulsaciones de teclas del "mono" sean independientes, e identicamente y uniformemente distribuidas.

Victor Lustig dijo...

Enrique, gracias por el link!

Q, me dejaste pensando...por qué decís que no hay nada equiprobable? En la teoría claramente sí, y en la práctica creo que un dado o una moneda, si bien siempre tendrán alguna pequeña imperfección, van a ser como mínimo muuuuuuy parecidos a algo equiprobable, no? O no entendí lo que decías?

Y otra duda un poco más abstracta...puede un espacio equiprobable no ser finito? Seguro que tiene que ser discreto pero podría llegar a ser numerable? (aclaro, entiendo por "espacio equiprobable" un espacio con n elementos donde cada uno tiene probabilidad 1/n; no estoy seguro de que esta definición esté bien...)

Sam Rothstein dijo...

Che, no entendí por que decis que si un espacio es equiprobable entonces debe ser numerable.

Sea F(x)=x una funcion de distribución y x pertenece a los reales entre 0 y 1 (x~U(0,1)), cada x entre 0 y 1 es equiprobable (en rigor, cada punto tiene probabilidad cero)

No?

Madoff dijo...

Estoy de acuerdo Sam!
Un espacio equiprobable puede ser finito, infinito y tambien no numerable!