viernes, 18 de febrero de 2011

La campana de Gauss



(Sí, el post de los viernes llega el sábado.)

Quiero compartir con ustedes una linda demostración que involucra a una de las grandes bellezas de la matemática: la distribución Normal, también conocida como campana de Gauss. Hay miles de razones para enamorarse de esta distribución, una de las principales es que bajo ciertas condiciones la suma de variables aleatorias converge a una Normal, sin importar la distribución que estas tengan. La primera vez que me crucé con este resultado no lo podía creer. A medida que se acumula más y más incertidumbre, no hacemos más que aproximarnos a la misma curva. Impresionante.

Esto decía Sir Francis Galton sobre lo que hoy se conoce como el Teorema Central del Límite:
"I know of scarcely anything so apt to impress the imagination as the wonderful form of cosmic order expressed by the "Law of Frequency of Error". The law would have been personified by the Greeks and deified, if they had known of it. It reigns with serenity and in complete self-effacement, amidst the wildest confusion. The huger the mob, and the greater the apparent anarchy, the more perfect is its sway. It is the supreme law of Unreason. Whenever a large sample of chaotic elements are taken in hand and marshaled in the order of their magnitude, an unsuspected and most beautiful form of regularity proves to have been latent all along."
La distribución Normal posee además muchas características que la hacen única. Por ejemplo, para una cierta media y varianza, la distribución Normal tiene máxima entropía. En una Normal, la media y varianza muestral son independientes. Pero una de las más atractivas es que la Normal tiene simetría esférica, es decir, si un vector en el plano tiene distribución Normal, una rotación del mismo tiene la misma distribución. Más aún, si (X,Y) son independientes y una rotación conserva la independencia, entonces están normalmente distribuidos.


Buscando esta propiedad tan bella y sutil fue que John Herschel hace dos siglos se topó con una distribución Normal entre sus cálculos (sí, Gauss la había descubierto antes al estudiar el movimiento de los cuerpos celestes, el descubrimiento de Herschel fue independiente de aquél). Lo que Herschel buscaba era una distribución en el plano con dos coordenadas independientes pero esféricamente simétricas. Sentado frente a sus hojas amarillentas, escribió:


Quizo decir: estoy buscando una distribución de x e y independientes, que dependa sólo de la distancia al centro r (por radio). Escrito en coordenadas polares:


Donde theta es el ángulo entre los dos vectores. Herschel pidió entonces que la densidad no dependiera del ángulo theta. Entonces derivó la densidad respecto de theta e igualó esa derivada a cero. Lo siguiente es inmediato, con un curso introductorio de cálculo se llega fácilmente a una ecuación que involucra una función de x del lado izquierdo y una función de y del derecho.

A ver estimados lectores, ¿cuál es esta ecuación y cuál es la única función que la cumple?

En el próximo post la sigo, falta muy poco. Ahora es el turno de ustedes.

¡Feliz sábado!

17 comentarios:

Adrian dijo...

f(x).f(y)=g(r)

f(r.cos@).f(r.sen@)=g(r)

derivo contra @

f'(r.cos@).r.-sen@.f(r.sen@) + f(r.cos@).f'(r.sen@).r.cos@

f'(r.cos@).r.sen@.f(r.sen@) = f(r.cos@).f'(r.sen@).r.cos@

f'(x).y.f(y) = f(x).f'(y).x

f(t)'=K.t.f(t) => f(t)=C.e^(K.x^2)

Para que sea convergente K < 0

Salute a tutti

Madoff dijo...

Impecable.

¿Las constantes de dónde salen?

Victor Lustig dijo...

GRAN post.
Me queda una pregunta de ignorante total (bah, me quedan varias pero voy de a una...): por alguna razón asocio la distribución de máxima entropía con la Uniforme...cómo es bien ese tema? Viene por el lado del "para una cierta media y varianza"? Una es para el caso discreto y otra para el continuo? Una es entre las de soporte acotado y la otra no? Algo así?
Saludos

Blackant dijo...

A pesar de que muchas cosas la hacen única también el uso de esta distribución en las ciencias sociales y en diversas políticas y el uso de la palabra "normal" ha hecho mucho daño. ¿Quién es normal? ¿Que significa estar fuera de x sigma de la media? Soy anormal.? Esto es una discusión filosófica muy interesante, de la cual confieso no soy un experto. En un tema más afin aunque Markovitz asumió un mundo gaussiano y el CAPM "abuso" de esto es evidente que no lo es. La bella sencillez encandila a veces. Me quedo con la demostración de Euclides que existen infinitos números primos. Ya que estamos recordemos a De Moivre que descubrió la distribución normal.

Adrian dijo...

Las constantes aportan generalidad a la función, fijate que a las igualdades siempre podés multiplicarlas a ambos lados por una constante.

Al final termina usandose porque al derivar x^2 te queda 2x. Si no la pusieras te quedaría sobrando el 2.

Noto un pequeño error, la linea donde derivo respcto del ángulo va igualada a 0. Me olvidé.

Madoff, para la próxima planteate uno para resolver con Matlab

Adrian dijo...

Blackant, antes de dar la lucha por un mundo no gaussiano, mi lucha es por un mundo con variables no independientes entre si.

Es increible la cantidad de papers de electrónica que asumen variables normales e independientes porque el que los escribe no sabe analizar otra cosa. En economía debe pasar lo mismo. Y las conclusiones son cualquiera porque las premisas lo son.

Madoff dijo...

Jaja muy buen punto Adrian, estaba por escribir un post de un papercito al que se le puede criticar justo eso.

Lo de las constantes te preguntaba porque te falto un pasito. La derivación es matemáticamente correcta pero desde el punto estadístico falta decir qué es K y C.

Victor, tenés razón, me olvidaba de la uniforme! La uniforme tiene la ventaja de que tiene soporte acotado. Ahora sobre las de soporte infinito la Normal tiene máxima entropía.

¡Gracias por los comentarios!
Pensé que el post había sido un embole...

Anónimo dijo...

Excelente super nerd post, Bernard. Me trajo lindos recuerdos.
El concepto de entropía no lo usamos mucho en economía. Me acuerdo que en las clases de Heymann de racionalidad acotada lo conocimos.

Victor Lustig dijo...

Y? De dónde salen las constantes?

Enrique Gabriel Baquela dijo...

Muy buen post, conciso, claro y simple, todos los requisitos que tiene que tener una buena explicación.

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