La campana de Gauss

(Sí, el post de los viernes llega el sábado.)

Quiero compartir con ustedes una linda demostración que involucra a una de las grandes bellezas de la matemática: la distribución Normal, también conocida como campana de Gauss. Hay miles de razones para enamorarse de esta distribución, una de las principales es que bajo ciertas condiciones la suma de variables aleatorias converge a una Normal, sin importar la distribución que estas tengan. La primera vez que me crucé con este resultado no lo podía creer. A medida que se acumula más y más incertidumbre, no hacemos más que aproximarnos a la misma curva. Impresionante.

Esto decía Sir Francis Galton sobre lo que hoy se conoce como el Teorema Central del Límite:

"I know of scarcely anything so apt to impress the imagination as the wonderful form of cosmic order expressed by the "Law of Frequency of Error". The law would have been personified by the Greeks and deified, if they had known of it. It reigns with serenity and in complete self-effacement, amidst the wildest confusion. The huger the mob, and the greater the apparent anarchy, the more perfect is its sway. It is the supreme law of Unreason. Whenever a large sample of chaotic elements are taken in hand and marshaled in the order of their magnitude, an unsuspected and most beautiful form of regularity proves to have been latent all along."

La distribución Normal posee además muchas características que la hacen única. Por ejemplo, para una cierta media y varianza, la distribución Normal tiene máxima entropía. En una Normal, la media y varianza muestral son independientes. Pero una de las más atractivas es que la Normal tiene simetría esférica, es decir, si un vector en el plano tiene distribución Normal, una rotación del mismo tiene la misma distribución. Más aún, si (X,Y) son independientes y una rotación conserva la independencia, entonces están normalmente distribuidos.

Buscando esta propiedad tan bella y sutil fue que John Herschel hace dos siglos se topó con una distribución Normal entre sus cálculos (sí, Gauss la había descubierto antes al estudiar el movimiento de los cuerpos celestes, el descubrimiento de Herschel fue independiente de aquél). Lo que Herschel buscaba era una distribución en el plano con dos coordenadas independientes pero esféricamente simétricas. Sentado frente a sus hojas amarillentas, escribió:

Quizo decir: estoy buscando una distribución de x e y independientes, que dependa sólo de la distancia al centro r (por radio). Escrito en coordenadas polares:

Donde theta es el ángulo entre los dos vectores. Herschel pidió entonces que la densidad no dependiera del ángulo theta. Entonces derivó la densidad respecto de theta e igualó esa derivada a cero. Lo siguiente es inmediato, con un curso introductorio de cálculo se llega fácilmente a una ecuación que involucra una función de x del lado izquierdo y una función de y del derecho.

A ver estimados lectores, ¿cuál es esta ecuación y cuál es la única función que la cumple?

En el próximo post la sigo, falta muy poco. Ahora es el turno de ustedes.

¡Feliz sábado!