viernes, 22 de abril de 2011

Acertijo de viernes

Poca regularidad de posteo. Al menos nuestros fieles lectores se acercan de tanto en tanto a insultar. En agradecimiento les dejo este acertijo para el fin de semana.
En un vuelo completamente vendido hay n asientos. Los pasajeros van subiendo uno detrás del otro al avión. En el primer lugar sube una vieja loca (ver Figura 1) que en lugar de tomar su asiento elige aleatoriamente un lugar donde sentarse.
Figura 1. La vieja loca sube primero y toma su lugar aleatoriamente
El resto de los pasajeros siguen subiendo de a uno. Si su asiento está libre, lo toman. Si está ocupado, eligen entre aquellos que estén libres de manera aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que el último pasajero pueda sentarse en su lugar?
No sean chantas. Si googlean, se guardan la respuesta. ¡Feliz Viernes!


31 comentarios:

Anónimo dijo...

1/n. que es la prob de que la vieja loca elija el asiento que le fuera asignado.

Anónimo dijo...

bueno el de la vieja loca, no lo conocia

y, de lo que pusieron en rojo, la unica verdad es la realidad, yo no conozco el mainstream economico, ni a los outsiders, pero, si alguien del mainstream dice esto:

Ahora bien, aquí hay que ser consistentes. Los que piensan que la protección cambiaria no sirve para nada no deberían criticarle al gobierno la apreciación acelerada por la inflación inercial. Por el mismo motivo, los que pensamos que sí importa no podemos pasar por alto este problema.

merece absolutamente todo mi respeto intelectual por la franqueza

ayj

Bernard L. Madoff dijo...

No veo la inconsistencia. Para mí la protección cambiaria no sirve para nada, justamente porque produce inflación y a la larga apreciación. ¿Cuántos ceros le agregamos a nuestra moneda en los últimos 50 años y cuántos al GDP real per capita?

Sam Rothstein dijo...

Respuesta:
2/n, si n>2
1/n si n=2


Si n>2:

1/n (es la probabilidad que la vieja loca elija su asiento)

A eso hay que sumarle la probabilidad de que la vieja elija el lugar equivocado, y el tipo que sigue no elija el lugar de la vieja, y asi sucesivamente. Esa probabilidad esta dada por 1/n. Para el caso que n=100 seria lo siguiente:
(1/100)=(99/100)*(98/99)*(97/98)*...*(2/3)*(1/2)

En conclusion, la respuesta es 2/n


Si n=2, la solucion es bastante trivial y es 1/n=0.5
Basicamente hay que eliminar toda la consideracion de que es lo que hacen los otros ya que no hay "otros" ademas de la vieja loca.


Esta bien?

Bernard L. Madoff dijo...

Buen intento, pero casi. El problema está en que si n>2 el lugar que toma la vieja no es necesariamente el del tipo que sigue después, sino que puede ser cualquiera de los otros.

Fijate que si n=3 la probabilidad no es 2/3.

Hay un argumento muy simple que tiene que ver con la simetría del problema.

Sam Rothstein dijo...

Haa, me quiero cortar un huevo. Juro que habia revisado el caso de n=3... pero lo revise mal.

Aca te va la respuesta correcta, espero:
La respuesta es 1/2

Basicamenet la vieja elije con probabilidad (1/n) su lugar. Ahi tenes un termino

Con probabilidad 1/n elije el lugar del ultimo, asi que esa rama del arbol la cortamos porque termina con que la probabilidad de que el tipo se siente en su asiento es cero.

Y con probabilidad (n-2)/n la mina se sienta en el asiento de otro tipo, con lo cual empezamos el juego de nuevo, solo que esta vez con m=n-1 asientos.

Hay que trabajarlo, pero la respuesta es esa (me da fiaca escribir tantas enes a estas horas)

Anónimo dijo...

Bernard

Como exprese, yo no lo dije, ahora, podes ir a discutir a la fuente

http://yeyati.blogspot.com/

me encantaria ver la discusion, al fin y al cabo, si te fijas, siempre dije que soy un ingeniero diletante

BTW, y esto es cosecha mia, fijate como terminamos el periodo 1989 al 2001

ayj

El Fantasma de la Duda dijo...

Creo que la última respuesta de Sam está bien.

Ahora, decime hinchapelotas pero cuando ponés que eligen un asiento aleatoriamente deberías aclarar que se sientan en cualquier asiento libre con igual probabilidad. ¡Hay que conocer la distribución! Es curioso cómo todos los que nos ponemos a resolverlo suponemos automáticamente que es uniforme.

Anónimo dijo...

de arriba diria que si no aclaro es gaussiana, y diria que es la misma que la vieja tome el asiento del ultimo tipo, 1/n

pero rendi probabilidad y estadistica 3 veces hace mucho tiempo

felices pascuas (espero que la casa este en orden)

ayj

Bernard L. Madoff dijo...

Fantasma, tenés toda la razón. La distribución es uniforme, me olvidé de aclararlo. Ahora, hasta los software de estadística caen en el mismo error. En Matlab el comando rand te tira una uniforme, en Mathematica es randomreal. En Stata y R esto no pasa (¿será porque los primeros dos son para matemáticos y los segundos para estadísticos?)

¿Están seguros de que la respuesta es 1/2?

ayj, creo que la mayoría de los economistas también son economistas diletantes.

Vengo siguiendo a ELY y sus últimos posts sobre protección cambiaria y apreciación real apuntan hacia el lado contrario de la cita que pusiste (y no encuentro por ningún lado).

"Parafraseando al rey Mervyn, podríamos referirnos al dólar alto como la "teoría Basile de la política industrial". Si bien es inexacto asumir que el dólar alto fue una política desde el inicio (en rigor, fue la consecuencia de la corrida del 2002), a partir de 2003, al menos de palabra, el dólar alto fue bendecido como instrumento de desarrollo de sectores industriales menos competitivos, muchas veces haciendo referencia al modelo exportador asiático. Sin embargo, como señalaba en el post anterior, salvo contados casos, la industria no parece haber progresado en este frente, creciendo su deficit externo (y cayendo sus expopartaciones brutas) pari passu a la apreciación del peso como si diez años de tipo de cambio "competitivo" no hubieran tenido mayor efecto."

"Esta desazón por la creciente primarización de las exportaciones (que excede el debate barrial argentino) parecería deberse a una interpretación incompleta, un tanto macroeconomicista, de la política industrial en un modelo exportador. Apostarle todo al dólar alto es como pensar que con tener los mejores jugadores del mundo basta, que es suficiente sacarlos a la cancha y pedirles que pongan huevos. Así como el puro talento no es sustituto del plan de juego, el dólar alto no es sustituto de la política industrial."

"Lo curioso es que, tras la crisis, el gobierno insinuó algunos de los elementos propios de una política industrial activa (reforzando la secretaría PyME, fondeando la investigación básica, explorando la formación de clusters productivos o el lanzanmiento de un banco de desarrollo) pero con el tiempo (difícil pensar en una fecha cierta) se fueron conformando con una suerte de piloto automático, como sedado por el éter de los dólares sojeros y la euforia del deme dos inflacionario. Tan es así que, en una radicalización de la teoría Basile, el actual Secretario de Politica Económica recientemmente tuiterizó que "Argentina es competitiva sin depender de una apreciación o una depreciación cambiaria"."

Bernard L. Madoff dijo...

Que no se malinterprete, no quise decir que ELY es un economista diletante, ese párrafo y el que sigue no tienen conexión alguna.

Anónimo dijo...

http://yeyati.blogspot.com/2011/04/animal-factory-o-el-supermercado-del.html

4to comment, ultimo parrafo

hay que leer los comentarios

saludos cordiales

ayj

PS aca no, pero en algun lado dije espero no haberlo sacado de contexto, yo creo que no

guido dijo...

La respuesta es 1/n como dijo el primer comentarista, se están complicando mucho.

El último en sentarse tiene 1/n posibilidades de que su asiento esté vacío, porque si la vieja ocupó el asiento de otro, y cada uno va en primer lugar a su propio asiento y en segundo lugar a uno ocupado indefectiblemente el asiento vacío al final es el de la vieja.

Sam Rothstein dijo...

Respuesta final, 1/2. No te hagas desear bernie y alegrame el dia!

Bernard L. Madoff dijo...

ayj, gracias por el link. Entonces ELY parece contradecir sus propias palabras.

Sam, la solución llega el lunes, dejemos participar a todos.

Chofer fantasma dijo...

A mi también me dio 1/2, hice una matriz de pagos con N <=4, y me aventuro que se cumple para todo N.

El tema es que, con independencia de la vieja, los que vienen detrás ordenan lo que pueden. El ultimo le queda para elegir entre el suyo o el de la vieja,dependiendo como se hayan dado las elecciones de todos los anteriores.

Anónimo dijo...

yo no creo se contradiga, lo que creo es que lo dice en terminos de necesario y suficiente, por el opuesto, un dolar bajo lo impide, pero uno alto es condicion necesaria, una de muchas

ayj

Anónimo dijo...

quizas el lo aclare en algun momento, si alguno lo conoce que le pregunte

ayj

Peter de A. dijo...

Buen posteo.

La situación del último pasajero u no depende plenamente de la opción escojida por la 'vieja loca'. Es cierto que si ella eligió su asiento, entonces 'u' tendrá ante sí un asiento libre, que será aquel que le corresponde, dado que todos los pasajeros están obligados (en virtud de la consigna) a tomar su asiento, el cual estará libre (a menos, claro, quie se hallan sobrevendido, pero supongamos mejor que eso no ocurrión, para simplificar, como se suele hacer en economía ¿no?).

Pero si la 'vieja' se sentó en otro asiento, el resto de los pasajeros buscarán su asiento en el conjunto de asientos disponibles, y puede ocurrir que la vieja se halla sentado o no en el de 'u'. Si se sentó en el de 'u', entonces 'u' no tendrá más remedio que sentarse en otro asiento que el suyo (como el de la 'vieja'). Si la vieja se sentó en otro asiento que el suyo, mas no en le de 'u', todo depende de si alguno de los pasajeros (descontados la 'vieja' y 'u') escogió el asiento de 'u'.

Así, la probabilidad de que la vieja se haya sentado en el asiento de 'u' es 1/n. Pero si esto no ocurrió
la de que lo haga quien le sigue dependerá de si la vieja se sentó en el asiento de él o no, que es (1/n). Y si la vieja se sentó en su asiento (el de el pasajero siguiente), la probabilidad de que él se siente en el de 'u' será 1/n-1. O sea, ¿si sumamos esto último más la condición es 1/n x 1/n-1? (pregunto porque no estoy seguro, me fijaría, pero no tengo tiempo, supongo que Uds, habituados a calcular probabilidades me correjirán).

Para el tercer pasajero, si la 'vieja' ocupó su asiento (o lo hizo el segundo) su proabilidad será 1/n-2, que habría que multiplicar con su condición: 1/n x 1/n-2 .

Entones, la soluciuón podría ser algo así:

1/n + 1/n x 1/n-1 + 1/n x 1/n-2 + ... + 1/n=2

Todo esto sería mucho más fácil si tuieras codigo latex en el blog.

Saludos

Peter de A. dijo...

Corrijo el final:

1/n + 1/n x 1/n-1 + 1/n x 1/n-2 + ... + 1/n x 1/n=2

Peter de A. dijo...

Me parece que lo saqué.
Sería así:

1/n + 1/n * 1/n-1 + 1/n-1 * 1/n-2 + ... + 1/n=3 * 1/n=2

Lo que es lo mismo a:
1/2, es decir, 0,5.

Saludos

Bernard L. Madoff dijo...

Peter, ¿tu respuesta es 2?

Peter de A. dijo...

no, es 0,5

Peter de A. dijo...

el 'n=2' del último sumando correpsonde a que es una sumatoria hasta n = 2 (que es la situación del último pasajero antes de 'u')

Bernard L. Madoff dijo...

Peter, si no malinterpreto tus cálculos, si n=3:

1/n + 1/n * 1/n-1 + 1/n * 1/n-2= 5/6

Bernard L. Madoff dijo...

Otra acepción posible:

n=4:
1/4 + 1/4*1/3 + 1/4*1/3*1/2 = 3/8

Peter de A. dijo...

No;
dado:
1/n + 1/n * 1/n-1 + 1/n-1 * 1/n-2 + ... + 1/n=3 * 1/n=2

si n=3

1/3 + 1/3*1/2 =
0.3... + 1.6... = 0.5

si n=4, entonces:

1/4 + 1/4*1/3 + 1/3*1/2 =
0.25 + 0.083... + 0.16... = 0.5

si n=5, entonces

1/5 + 1/5*1/4 + 1/4*1/3 + 1/3*1/2 =
0.2 + 0.05 + 0.083... + 0.16... = 0.5

Saludos

Peter de A. dijo...

insisto con lo de código Latex

Peter de A. dijo...

habrás notado que en n=3 se deslizó un error de tipeo, pero la correscción es:

si n=3

1/3 + 1/3*1/2 =
0.3... + 0.16... = 0.5

Bernard L. Madoff dijo...

- RESPUESTA -

Ganador: Peter del A.
Mencion especial: Chofer Fantasma.

La respuesta es 1/2, y sale de la simetria del problema:

1. El ultimo pasajero (U) solo puede encontrar uno de dos asientos vacios, el de la vieja (A) o el suyo (B).

2. Si la vieja toma A, U toma B, y viceversa. Caso contrario, la vieja ocupa el lugar de otro. Si este otro elige A, U toma B, y viceversa. Caso contrario, ... etc.

3. Noten que el paso 2 no depende de que asientos llamemos A o B. Podemos invertir las etiquetas y la prueba es la misma. Por ende la probabilidad de que U encuentre A o B es la misma, es decir, 1/2.

Esmeraldazxo Lindsayrcp dijo...

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